幾何学模様（9）

幾何学模様
(18)、(17)、(16)、(15)、(14)、(13)、(12)、(11)、(10)、(9)、(8)、(7)、(6)、(5)、(4)、(3)、(2)、(1)

前回の幾何学模様(8)からスーパー楕円　|x/a|^n/m+|y/b|^n/m=1　を検討している。

x=rcos、y=rsinθであるから、スーパー楕円は、　r=(|cosθ/a|^n/m+|sinθ/b|^n/m)^-m/nと書くことができる。

前回、n/mを変化させた図を示した。n/m>2の場合、角丸四角になる。これはラメ曲線と呼ばれている。n/m=2の場合、円となる。2>n/m>1の場合、角丸菱形となる。n/m=1の場合、菱形となる。n/m<1の場合、星状になる。n/m=2/3の場合は、特にアステロイドもしくは星芒形と呼ばれている。　

今回は、n/mを固定して、r=(|cos(jθ/k)/a|^n/m+|sin(jθ/k)/b|^n/m)^-m/nスのような関数を考える。これもスーパー楕円の範疇であろう。以下では、a=b=1,n/m=2/3,j=1としてkを変化させてみる。

ｋに対して単調に変化するのではなく、複数のモードがある。大きくは４つのモードに分かれる。4k,4k-1,4k-2,4k-3である。

以下にそれぞれを示す。勝手に型名をつけるとしたら、4kは涙型、4k-1は花弁型、4k-2は瞳型。4k-3のパターンは4k-1と似ていて、これも花弁型。

　いずれの場合においても、kが大きくなると、内側に円ができる。n/mを小さくすると内側の円が小さくなる。

　以下にn/m=1/3としたときの4k-1のケースを示す。