幾何学模様（3）

幾何学模様
(18)、(17)、(16)、(15)、(14)、(13)、(12)、(11)、(10)、(9)、(8)、(7)、(6)、(5)、(4)、(3)、(2)、(1)

幾何学模様を表現するのに、動画は欠かせない。ということで動画作成にチャレンジした。できるだけ簡単な例を探した。選んだ例題は、「一端をX軸におき、他端をY軸におく一定の長さの線が、それぞれの端をX軸、Y軸においたまま動く」というもの。一本の線を第一から第四象限に動かしていくとわかりやすいだろうが、初めての動画作成なので、より簡単にできる方法を選んだ。それで、今回は4本の線が第一、第二、第三、第四象限で同時に動く。動くだけなら模様にならない。動いた軌跡を残すことによって、模様ができる。

次が、私の最初の幾何学模様動画である。すこしきれいにみせるため、X軸もY軸も書いていない。

コマ数が少ないせいか、動くというイメージはでていない。でも幾何学模様を動画にすることができた。

一番外側の曲線（包絡線）は、アステロイド曲線と呼ばれる。星芒形とも言われる。

何事もするにも最初の山は高い。かなり躓いた。躓きながらなんとかできた。

次の手順で作成した。

①  動画のコマとなる静止画を、パワーポイントで作成。1コマは1スライドに対応するように書く。ここまでは、PPTマクロを使った。スライドショーで出来具合を予想する。

ppt2010にビデオ作成という機能がある。これを使ってみたら、パソコンがうなり始めた。スライド数は80枚以上、解像度はディフォールトの最大値。10分以上経過してビデオができていた。しかし、このビデオがやたらと遅い。これはものにならない。不必要なデータ処理をしていることは明白。

②  データ量を減らす為、パワーポイントで作った図を「図として保存」した。

③  インターネットで動画ソフトを検索。動画作成ソフトは、無料有料たくさんあるようであるが、無料で、かつ、少し馴染みのあるGoogleのPicasaにした。

作ったはずの図がPicasaで表示されていない。PPTのディフォールトの図保存がPNGファイルであり、これはPicasaのライブラリに表示されない。JPEGとして保存すると表示されるようになった。

④  Picasaで動画を作成。この手の動画は2コマ/秒がよいようであるが、Picasaにはない。1コマ/秒とした。

インターネット情報に教えられるままPicasa以外にデータ圧縮するフリーソフトをダウンロードした。インターネット情報ではPicasaがデータ圧縮を要求するとのことであったが、最新のPicasaはデータ圧縮を要求してこない。

⑤  Youtubeにアカウントを作成。（Youtube登録は今回が初めて。）

⑥  動画をYoutubeにアップ。

Picasaで動画を作ったあとYoutubeにアップするボタンがある。そのボタンを押しても失敗したというメッセージがでる。すこしずつなにかを変えながらで作った動画をYoutubeにアップするボタンを押す作業を繰り返したが。うまくいかない。
インターネットでYoutubeにアップできるのは、Google ChromeとFirefox、・・、IEではアップできないと暗に言っている記述をみつける。Google ChromeつまりYoutubeにログインして、アップすればよいとわかる。

⑦  アップした動画を埋め込んだ。

幾何学模様（2）

幾何学模様
(18)、(17)、(16)、(15)、(14)、(13)、(12)、(11)、(10)、(9)、(8)、(7)、(6)、(5)、(4)、(3)、(2)、(1)

ハート・マークがr=f(sinθ,cosθ)で表現できないか、検討してみた。ハート・マークができる条件は、まずはθ＝０でｒ＝０　および　θ＝９０°でr=1 になること、次に　０＜θ＜４５°で　ｒ＜１になること、更に、４５°＜θ＜９０°でr＞１になることであると考えた。

いろいろやってみたけど、比較的簡単な関数で実現できることがわかった。わかってみれば、なんだという感じである。結果的にいえば、θ＝０でｒ＝０　および　θ＝９０°でr=1 になる最も簡単な関数は、sin θである。

０＜θ＜４５°で　ｒ＜１にするには、sinθに（１＋sin θ＊cos　θ）を掛ければ、実現できる。θを0°から360°まで変えてｒの値をプロットするのであるが、ｒが負になることは許されないので、sin θやcosθに絶対値をつけなければいけない。

現実にｒをプロットするのはどうするか、rのｘ値とｙ値を求めればx-y座標にプロットできる。ｘ値およびｙ値は、それぞれｘ＝ｒ＊cos θ、ｙ＝　ｒ＊sin θ　で表わされる。最も簡単なｒはｒ＝１である。これは円になる。ｒは原点から(x,y)点までの距離である。

r=|sin θ|*(1+|sin θ* cos θ|でθを0°から360°まで変化させると２つのハート・マークができる。　r=|cosθ|*(1+|sin θ* cos θ| とすると角度を９０°回転させたハート・マークが２つできる。

前回の経験で、θを　ｎθ/2とすれば、ｎ個のハート・マークができると予想される。現実にnを変えていくとn個のハート・マークができた。

　

r=|sin θ|*(1+|sin θ* cos θ|とr=|cosθ|*(1+|sin θ* cos θ|)を重ね合わせてみた。

ここではr=|sin θ|*(1+|sin θ* cos θ|のほうは白で不透明処理をした。

色付けをして、シェーディングをすれば、花弁（はなびら）のようにみせることもできる。|sin θ* cos θ|の前に係数をかければ、ハートの形を変えることができる。

以前、ハリウッドにおいてC Gの世界でリーダとして活躍している日本人の若者を紹介していた。彼は日本から何冊もの数学の本を取り寄せていた。既にアートの世界では数学は大きな位置を占めていると予想される。

物理と数学はお互いが切磋琢磨してきた。いずれアートが数学の進展を促すかもしれない。

サイエンス・アートは、今はまだ娯楽の世界かもしれないが、教育の世界に展開されれば効果が大きい。　いろんな分野の数学や科学に対する理解を早めることができる。カバーする分野を広げることができる。なによりも数学や科学に対する興味を引き出すことができる。

芸術的なセンスのある人は、サイエンス・アートからいろんなインスピレーションを得るであろう。いろんな分野の芸術家がサイエンス・アートから得たインスピレーションを発展させれば、芸術は深まる。アートが数学の進展を促すようなことがおきれば、芸術の枠組みは大きく広がるだろう。

r=f(sinθ,cosθ)は組み合わせが膨大である。無限と言ってよい。まだまだ誰も検討していなくて、興味深い組み合わせがあるはずである。

ｒ＝f(θ)に一般化すると更に、世界が広がる。３次元に拡張すれば、未知の分野が数多く存在するのではなかろうか。

幾何学模様（１）

幾何学模様
(18)、(17)、(16)、(15)、(14)、(13)、(12)、(11)、(10)、(9)、(8)、(7)、(6)、(5)、(4)、(3)、(2)、(1)

どうやって幾何学模様を描いているか、次図で簡単に説明する。

　先ず、r＝f（θ）を考える。最も簡単なのはr＝1である。これは円になる。

θを決めるとｒが求まる。次にθを変えて、ｒを求める。ｒを線でつないでいく。通常、最初θ＝０でｒを求める。以降１度づつθを大きくしてrを求め、これらをつないで幾何学模様を作る。

前回は　r=｜sinθ｜　および　r=｜cosθ｜のパターンを紹介した。

今回は、r=｜cos(nθ/m)｜のｎとｍを変化させたパターンを示す。

先ず、ｍ＝２として、nを1,2,3・・・と変化させる。

 この場合、ｒ＝１の円に接する点が、1,2,3・・・と増えていっている。

  

ｎ角形は、（ｎ）-gonと言われる。ペンタゴンやヘキサゴンはよく聞く。

ｎ面体は、（ｎ）-hedron  。

今回のような場合は、（ｎ）-gramと呼ばれる。ちなみに 1はmono、2はdiもしくはbi、3はtri、4はtetra、5はpenta、6はhexa、7はhepta、8はocta、9はnona、10はdecaである。

ｍ＝２の場合は、このように規則的であるが、mが３以上になると様々なパターンを示す。

次図で、ほんの一部を示す。

探せば、規則的なものがいろいろあるであろうが、すぐ目についたのは、分子が１で、分母が1,3,5・・・と続く場合と同じく分子が１で分母が2,4,6・・・と続く場合である。

r=f(sinθ,cosθ)は私が予想した以上に奥が深い。

ppt2010マクロ（１）

PPTマクロ(6)、PPTマクロでつくったもの２
PPTマクロ(5)、PPTマクロでつくったもの１
PPTマクロ(4)、マクロで四角形や楕円などを描く
PPTマクロ(3)、マクロで直線を描く
PPTマクロ(2)、マクロを有効化する
PPTマクロ(1)、マクロ作成の動機

PPTマクロ(1)、マクロ作成の動機

　パソコンを手にしたときから、マクロをしようと思ったが、今まで20年以上も手がつかなかった。マクロで何をするの？という具体的なアイディアがなかったのが、長年、手がつかなかった一番の理由であろう。

　今回マクロを始めた切っ掛けは二つある。一つ目は先輩がエクセルのマクロは、簡単だとおっしゃる。パワーポイントのマクロは？と聞くと、エクセルと比較してもっと簡単なはずだといわれる。私は彼より１０歳以上も若い。もう一つの切っ掛けは、机の中のセルロイド製分度器である。パワーポイントで、任意の角度を設定して、円弧が描ければ、この分度器は要らない、捨てられると思った。

　早速、パワーポイント・マクロの本を買いに行った。エクセルのマクロは山と積まれているのにない。パワーポイントのマクロの本は売られていない。マクロ記録があれば、なんとか手がつけられるだろうと思ったが、パワーポイント2010ではマクロ記録がなくなっている。パワーポイント2003にはマクロ記録があるとのことであるが、パワーポイント2003の入ったパソコンは1年前に壊れてしまっている。でもなんとか始めることができた。どうしたのかは、次回以降のブログで書く。次図は、最初の成果である。

　なんということはないただの円弧である。でも、これを作ったら、いろんなアイディアが次から次へと浮かんできた。長年、マクロを使う具体例が思い浮かばなかったのに、マクロでプルグラムができると実感した途端に嘘のようにアイディアが溢れ出てきた。中学・高校数学を使った作図である。今の段階でかなりの作図ができた。これから少しずつ紹介していく。

　一例として　r=｜sin θ｜　および　r=｜cos θ｜を示す。

（つづく）

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