3D（6）球面上のサイン波

久しぶりに球面上のサイン波をアップする。

目の焦点を画面奥にすると立体的に見えます。

特長は境界処理がきちんとできていること。この境界処理に何年もかかってしまった。

うまくいった秘訣は、

（１）VBAでベジュ曲線による描画の実現

（２）色をつけるため、終点と始点を一致させたこと

の2点をあげることができる。

この図はR＝一定で　θ＝F（φ）。F（φ）は簡単なサイン波である。

このほかにθを一定にした図やφを一定にした図も描画できるようになっているので、今後、投稿していく。

３Ｄ（５）結晶構造 - diamond structure ( youtube )

３Ｄ（５）結晶構造 - diamond structure

　どうする？　３次元描画に挑戦！

　３次元描画としては、映画の「トイ・ストリー」や「アナと雪の女王」のように２次元描画であるが３次元的に見えるように工夫したものがある。

　最近は本当に３次元でみれる映画が出回っている。これは右目用と左目用の絵（動画）を一つの画面に重ねて置き、色眼鏡で見分けて３次元でみるものである。

　ここで検討しているのは、右目用の絵と左目用の絵を描いておいて、見る人が目の焦点の位置を画面の奥に置くか、もしくは、手前に置くかで立体的に見えるようにしたものである。

　同じ方式で右目用と左目用の写真を撮る装置がある。この写真を並べてみると立体的にみえる。一時ヌード写真でミニ・ブームがおきたことがあるらしいが、私の記憶にはない。

　私は３次元の幾何学模様と結晶構造で３次元表示を行っている。

　ここでいう幾何学模様は幾何学のようにみえる幾何学的模様ではなく、数式をベースにした幾何学模様である。２次元の幾何学模様はアリストテレスの時代から古今東西盛んに検討されてきた。日本でも江戸時代、民間の数学マニアの一分野であった。江戸時代の数学は関孝和だけではない。庶民を巻き込み裾野は広く、全国津津浦々に証拠の絵馬が残っている。江戸時代の文化　見直すべしである。

　３次元幾何学は古代ギリシャからあったようであるが、高校で教えられることはない。非ユークリッド幾何学やリーマン幾何学として発展したようであるが、名前は知られていても専門家以外は中身を知らない。難しい話も通常は多くの解説書がでるが、この分野は見かけたことがない。私はサイン、コサインを適当に組み合わせただけで幾何学模様を描いているだけある。３次元プリンターがでたので、これからは身近になっていくかもしれない。

　結晶構造は２次元図があって、いろんな説明図があってもなかなか理解が進まない。３次元でみせられると、あっそう！と一目瞭然で理解が格段に進む。

　立体視のできるダイヤモンドの結晶構造を前回のブログで示したが、結晶構造はそれでも不十分である。回転していろんな角度から見る必要がある。

　Youtubeなら回転する結晶を、今回の立体視方法を用いて、３次元で見ることができる。
目の焦点を画面奥にして３次元に見えるように目のピントを調節して見て下さい。

　最初から少し回転させているのは、ここで使っている立体視方法は真正面が弱いからである。真正面にすると立体的に見えない。


　今回は１８０度横方向にしか回転していない。３６０度回転させ、さらに縦方向でも３６０度回転させたほうがよさそうである。

いままでに描いてきた３次元図
3D（４）結晶構造-diamond structure
3D（3）球面上のサイン波　 sin wave on a globe（3）
3D (2)球面上のサイン波　 sin wave on a globe (2)
3D (1)球面上のサイン波　 sin wave on a globe (1)

３Ｄ（４）結晶構造 - diamond structure

３Ｄ（４）結晶構造 - diamond structure

　教科書に書かれている結晶構造は、当然ながら２次元（平面）で書かれている。現実は３次元である結晶構造が２次元で書かれていると想像力を働かせて理解しなければならない。つまり、わかりにくい。もし、３次元でみることができれば理解しやすい。

　いままで紹介してきたように目の焦点をスクリーン上からずらすことによって３次元でみることができる。

　今回示すのはダイヤモンド構造である。ダイヤモンド以外にもSi（シリコン）やGe（ゲルマニウム）もダイヤモンド構造である。

　次図は目の焦点を画面奥にした場合、３次元でみることができる。

　次図は目の焦点を画面手前にした場合、３次元でみることができる。

　これらの図はExcelのＶＢＡで作成した。結晶構造を３次元でみたとき、我ながら　「おう！」と感激した。いずれこのように３次元でみられる結晶構造が教科書にのる日がくる。

いままでに描いてきた３次元図
3D（3）球面上のサイン波　 sin wave on a globe（3）
3D (2)球面上のサイン波　 sin wave on a globe (2)
3D (1)球面上のサイン波　 sin wave on a globe (1)

3D (3)球面上のサイン波 sin wave on a globe (3)

目の焦点を画面奥にすると立体的に見えます。

濃い目の色は、「ももはないろ」です。色コードは#e198b4です。
淡い色は、「あわべにふじ」です。色コードは#e6cde3です。

ExcelのソフトVBAを使って描きました。

このような絵をコンピュータを使って描いてみたいと思われ方もいるかもしれません。
そのような方に使った数式を以下に示します。

いままでに描いてきた球面上のサイン波
3D (2)球面上のサイン波　 sin wave on a globe (2)
3D (1)球面上のサイン波　 sin wave on a globe (1)

3D (2)球面上のサイン波 その2 sin wave on a globe 2

3D (1) 球面上のサイン波 sin wave on a globe

3D (2) 球面上のサイン波　その2 sin wave on a globe - 2

 前回、球面上のサイン波として、球の赤道付近でサイン波を示した。北極付近でサイン波は、これがサイン波かと思われるような図になる。

　 前回使った式は

θ＝(π/6) sin 10φ＋π/2

である。今回使った式は、

θ＝(π/3) sin  nφ

である。
　 今回の最も大きな変更点は、前回式より　＋π/2を除いたことである。この＋π/2は赤道を中心にしていることを示す。＋π/6　とすると北緯30度を中心としたサイン波である。この＋π/ｎ　を除くと北極点を中心としたサイン波となる。しかし、全くそのように見えないパターンが現れる。これはサイン波の振幅の中心が北極点　一点に集中するためである。

　 北極付近で上式を少し変更するだけでいろんなパターンがでてくる。

　 先ず、sin nφ　の　ｎ　を変更して見る。目の焦点を画面の奥に合わせると真ん中に現れるパターンが立体的に見える。

n=1,    θ＝(π/3) sin  φ

n=2,    θ＝(π/3) sin  2φ

n=3,    θ＝(π/3) sin  3φ

n=4,    θ＝(π/3) sin  4φ

n=5,    θ＝(π/3) sin  5φ

　 sin φ、sin 3φなどφの前の数字が奇数である場合とsin 2φ、sin 4φ等偶数である場合では花弁の数が異なる。これは奇数の場合、φ＝0～180 度と　φ＝180～360度 で同じパターンを描くのに対して、偶数の場合は、異なるパターンを描くことによる。下図は　n=2 でφ＝0～180度の場合である。

　 式で描画できるのは線であるが、上図のよう線が閉じたループになっている。エクセルやパワーポイントのフリーフォーム機能を使うと色塗りができる。いろんなパターンも埋め込める。色を付けて回転してみる。そして、子午線も経線ものぞいてみよう。このほうが、立体的に見えるパターンとして楽しんでもらえそうである。

3D(1) 球面上のサイン波

3D (1)球面上のサイン波

　 幾何学模様(２次元)をやっていて、いつかは３次元の幾何学模様をやろうと思っていた。私のプログラム作成技術はPPTのマクロからエクセルのVBA技術へ進歩している。今ならできるということで挑戦した。プログラム作成にかなりの期間を要したが、３次元でいろんなことができるようになった。３次元表示は、複雑で多様性がある。３次元表示ではまず任意の角度で傾けて表示する必要がある。次にどう見せるかという問題もある。いろんな表現方法がある。このブログの3Ｄシリーズでいくつかの表現方法を紹介していきたい。

　 下図は、球面上のサイン波である。

 どのような発想でサイン波を書いたのか。　球を地球儀に例えて話をする。経線は赤道に平行に走っている。この経線を２次元（Ｘ，Ｙ）のＸとし、子午線をＹと考えればよいと考えた。地軸に対する傾き角度をθとすると、半径を一定にして、θを0度から180度動かして線を描くと子午線が描ける。地軸を軸として回転する角度をφとする。半径を一定にしてφを0度から360度回転すると経線が描ける。

　 Y=sin X はθ＝sin φ とすれば、球面上でサイン波が描けるであろう。しかし、球面にはいろんな制限がある。上図の球面上のサイン波は以下の式で描いている。

θ＝(π/6) sin 10φ＋π/2

　 θは地軸に対する角度なので、赤道を中心にサイン波を書くために　π/2　を足している。π/6　は　サイン波の振幅を示しており、これにより北緯３０度と南緯３０度の間を上下する。１０はサイン波の山もしくは谷の数を示している。

　 このような球面上のパターンを見せるにはどうするか。今回のサイン波は、わかりやすので、上図だけだ充分であろうが、傾ける角度を変えた方が良い場合がある。今回はあまり意味がないが、北極側からみるパターンとして９０度傾けてみた。

　 立体視、もしくは、実体視、もしくは、マジックアイと呼ばれている３次元表示技術がある。意図的にわずかにパターンをずらした図を二つ用意しておき、見る人の目の焦点を画面の手前もしくは奥にあわせてもらうという手法である。これを使うと二つの図形が三つにみえ、真ん中の図形が実際に立体的に見えるから驚きである。見るためには少し訓練が要るが、見えたら　「おうっ」　と思う。目の焦点を画面の奥に合わせることを前提に図形を書いており、円の真ん中が手前に膨れればＯＫである。目の焦点が画面の手前になっても３次元に見える。その場合は、円の真ん中が凹んで見える。

 このマジック・アイのパターンをみていると近視も遠視も治るといわれているが、簡単には治らない。しかし、立体視能力は短時間で向上する。多くの人は、右目と左目の能力が偏っており、この偏りによって物を立体的にみる力が弱まっている。マジック・アイのパターンをみていると両目の能力が均一になると考えられる。私の場合は、周りの景色が急に立体的にみえて感激した。もとが悪くなり過ぎていたのかもしれない。

　 もし上図が立体的に見えるようだと次の絵をみて頂きたい。地球の裏側も描いている。２次元図はごちゃごちゃしているが、３次元的にみえてくると　「お～っ」です。出来たら眼の焦点を画面の奥に合わせて欲しい。

 今回は、赤道上のサイン波でした。π/2　を消すと北極上のサイン波のはずです。ですが、えっ、これがサイン波というパターンがでてきます。次回は北極上のサイン波？です。